Матричный анализ

Скачать работу - Матричный анализ

Свойство № 1. Если матрица (среди них могут быть и кратные), а Доказательство: Пусть характеристический многочлен матрицы А имеет вид: Сделаем замену в равенстве: (*) Равенство (*) справедливо для любого множества f(x), поэтому заменим многочлен f(x) на , получим: . Слева мы получили характеристический многочлен для матрицы f(A), разложенный справа на линейные множители, откуда следует, что – собственные значения матрицы f(A). ЧТД. Свойство № 2. Пусть матрица – собственные значения матрицы А, f(x) – произвольная функция, определенная на спектре матрицы А, тогда собственные значения матрицы f(A) равны Доказательство: Т.к. функция f(x) определена на спектре матрицы А, то существует интерполяционный многочлен матрицы r(x) такой, что которым соответственно равны ЧТД. Свойство № 3. Если А и В подобные матрицы, Доказательство: Т.к. А и В подобны, то их характеристические многочлены одинаковы одинаковы и их собственные значения, поэтому значение f(x) на спектре матрицы А совпадает со значение функции f(x) на спектре матрицы В, при чем существует интерполяционный многочлен r(x) такой, что f(A)=r(A), , . ЧТД. Свойство № 4. Если А – блочно-диагональная матрица Следствие: Если f(x) – функция, определенная на спектре матрицы А. 4. Интерполяционный многочлен Лагранжа-Сильвестра.

Случай № 1. Пусть дана имеет ровно n корней, среди которых нет кратных, т.е. все собственные значения матрицы А различны, т.е. Sp A – простой. В этом случае построим базисные многочлены l k (x): Пусть f(x) – функция, определенная на спектре матрицы А и значениями этой функции на спектре будут Построим: Обратим внимание, что Пример: Построить интерполяционный многочлен Лагранжа-Сильвестра для матрицы Тогда для функции f(x), определенной на спектре матрицы А, мы получим: Возьмем Случай № 2. Характеристический многочлен матрицы А имеет кратные корни, но минимальный многочлен этой матрицы является делителем характеристического многочлена и имеет только простые корни, т.е. Случай № 3. Рассмотрим общий случай. Пусть минимальный многочлен имеет вид: где m 1 +m 2 +…+m s =m, deg r(x) Составим дробно-рациональную функцию: и разложим ее на простейшие дроби. Обозначим: и получим где Если в (**) положить Для того, чтобы найти a k3 надо (**) продифференцировать дважды и т.д. Таким образом, коэффициент a ki определяется однозначно. После нахождения всех коэффициентов вернемся к (*), умножим на m(x) и получим интерполяционный многочлен r(x) , т.е. Пример: Найти f(A), если t – некоторый параметр, Найдем минимальный многочлен матрицы А: Проверим, определена ли функция на спектре матрицы А Умножим (*) на (х-3) при х=3 Умножим (*) на (х-5) Таким образом, - интерполяционный многочлен. Пример 2. Если Найдем минимальный многочлен матрицы А: d 2 (x)=1 , тогда минимальный многочлен Рассмотрим f(x)=sin x на спектре матрицы: функция является определенной на спектре.

Умножим (*) на Умножим (*) на Вычислим g , взяв производную (**): Итак, ЧТД. Пример 3. Пусть f(x) определена на спектре матрицы, минимальный многочлен которой имеет вид r(x) для функции f(x) . Решение: По условию f(x) определена на спектре матрицы А f(1), f’(1), f(2), f ‘(2), f ‘’ (2) определены. Используем метод неопределенных коэффициентов: Если f(x)=ln x f(1)=0 f’(1)=1 f(2)=ln 2 f’(2)=0.5 f’’(2)=-0.25 4 . Простые матрицы. Пусть матрица k i – алгебраическая кратность корня Обозначим множество векторов удовлетворяющих собственному значению r – ранг матрицы Теорема. Если квадратная матрица А имеет собственное значение имеет имеет кратность DF . Размерность называется геометрической кратностью собственного значения В свете этого определения теорема переформулируется следующим образом: Теорема.

Алгебраическая кратность собственного значения не меньше его геометрической кратности. DF . Матрица называется простой, если аглебраическая кратность каждого ее собственного значения совпадает с его геометрической кратностью. Из линейной алгебры следует, что матрица простая тогда и только тогда, когда Если матрица А простая, тогда существует n линейно независимых собственных векторов x 1 , x 2 , …,x n таких, что и Замечание.

Обратим внимание на то, что собственные значения А и А ’ совпадают.

Действительно, собственные значения для А ’ это значения - собственное значение матрицы А, то и является собственным значением матрицы А ’ , т.е. существует (*) или . Транспонируем (*) и получим (транспонируем это равенство). В этом случае называют левым собственным вектором матрицы А. Соответственно, - называют правым собственным подпространством, - называют левым собственным подпространством.

Рассмотрим следующую конструкцию: если матрица А простая, то существует n линейно независимых собственных векторов x 1 , x 2 , …, x n и существует n линейно независимых собственных векторов y 1 , y 2 ,…,y n , где x 1 , x 2 , …, x n такие, что (1) ; y 1 , y 2 ,…,y n такие, что (2) , . Запишем равенство (1) в виде (3) что, если А – простая, то существуют матрицы X и Y, что или (**) . DF . Множества векторов x 1 , x 2 , …, x n и y 1 , y 2 ,…,y n удовлетворяющие условию называются квазиортогональными.

Учитывая равенство (**) и определение делаем вывод: множества левых и правых собственных векторов простой матрицы А квазиортогональны и Очень важной для матриц является следующая теорема: СПЕКТРАЛЬНАЯ ТЕОРЕМА. Если А – простая матрица порядка n над полем С и p(x) многочлен из кольца C[x] , и x 1 , x 2 , …, x n и y 1 , y 2 ,…,y n – множества правых и левых собственных векторов матрицы А, то Следствие . Сопутствующие матрицы обладают следующими свойства: 1. 2. 3. Пример.

Показать, что матрица простая. Найти сопутствующие матрицы для матрицы А и использовать их для А 20 , p(x)=x 20 . Решение: существуют 2 линейно независимые правые и левые системы собственных векторов.

Найдем правые собственные векторы: Найдем левые собственные векторы: Найдем сопутствующие матрицы: 5. Спектральное разложение функции f(A) . Спектральное разложение для f(A) имеет важное значение и очевидно тесно примыкает к спектральной теореме для простых матриц. Пусть дана матрица и пусть Теорема. Если f(x) определена на спектре матрицы А и - значение jй производной от f(x) в собственном значении f(x) матрицы (1) коммутирует с матрицей А и образуют линейно независимую систему в пространстве Доказательство: заметим, что и - базисные многочлены, принимающие одинаковые значения на спектре матрицы А, (3) . Сравнивая (1) и (2) и учитывая (3) получим, что . Матрицы называются компонентами матрицы А или компонентными матрицами. ЧТД. Опишем следующие свойств компонентных матриц, которые в некоторой степени обобщают свойства сопровождающих матриц.

Теорема . Компонентные матрицы обладают следующими свойствами: 1. 2. 3. 4. Замечание. Для того, чтобы найти компонентные матрицы для f(x) определенной на спектре матрицы А необходимо и достаточно знать базисные многочлены, входящие в интерполяционный многочлен, однако нахождение интерполяционного многочлена f(x) связано с некоторыми трудностями, а поэтому будем вычислять компонентные матрицы подбирая соответствующим образом системы функций.

Пример: Найти компоненты для матрицы Пусть f(x) определена на спектре А, тогда согласно спектральной теореме 1. f(x)=1 E=1Z 11 +0Z 12 +1Z 21 =Z 11 +Z 21 2. f(x)=x-4 A-4E=0Z 11 +1Z 12+ (-2 ) Z 21 =Z 12 -2Z 21 3. f(x)=(x-4) 2 (A-4E) 2 =4Z 21 Таким образом, для любой функции f(x) , определенное на спектре матрицы А Пример 2. Найти компоненты для матрицы Найдем минимальный многочлен матрицы А. 1. f(x)=1 E=Z 11 +Z 21 +Z 31 2. f(x)=x+1 (A+E)=2Z 21 +Z 31 +Z 12 3. f(x)=(x+1) 2 (A+E) 2 =4Z 21 +Z 31 4. f(x)=x-1 A-E=-2Z 11 +Z 12 -Z 31 1. f(x)=1 E=Z 11 +Z 21 +Z 31 2. f(x)=x+1 A+E=Z 11 Z 22 +2Z 31 3. f(x)=(x+1) 2 (A+E) 2 =Z 11 +4Z 31 4. f(x)=x-1 (A-E)=-Z 11 -2Z 21 +Z 22 Z 31 =A -Z 22 =(A+E) 2 -E-3A Z 12 =Z 22 Z 11 =(E-A)-Z 22 6.Определенные матрицы.

Эрмитовы и квадратичные матрицы. Пусть А – эрмитова матрица (А * =А). Рассмотрим функцию h(x) – действительная функция комплексного аргумента.

Рассмотрим: DF . Функция где А – эрмитова матрица, называется эрмитовой формой от n переменных x 1 , …, x n , где А – матрица эрмитовой формы.

Очевидно, что если А – действительная симметрическая матрица, то в этом случае получаем квадратичную форму Для каждой эрмитовой (квадратичной) формы инвариантами являются: ранг (число не нулевых коэффициентов в квадратичной форме нормального вида совпадающих с рангом матрицы А), p (индекс) – число положительных коэффициентов в квадратичной форме нормального вида, оно совпадает с числом положительных собственных значений, сигнатура. Эти числа r, p, грr не зависят от тех преобразований, которые совершаются над данными формами. В дальнейшем ограничимся рассмотрением только квадратичных форм. Нас интересуют 2 семейства матриц. DF . Действительная симметрическая матрица А называется положительно определенной, если для DF . Действительная симметрическая матрица А называется неотрицательно определенной, если для Оба типа матриц относятся к классу определенных матриц.

Заметим, что положительно определенная матрица невырожденная, т.е. если предположить, что она вырожденная, то Теорема № 1. Действительная симметрическая матрица nго порядка будет определенной ранга тогда и только тогда , когда она имеет r положительных собственных значений, а остальные ( n-r) – собственные значения равны 0. Теорема № 2. Действительная симметрическая матрица положительна определена тогда и только тогда, когда все ее главные миноры положительны.

Теорема № 3 . Действительная симметрическая матрица положительно определена тогда и только тогда, когда все ее главные миноры положительны. 7.Неотрицательные матрицы. DF . Матрица называется неотрицательной, если каждый ее элемент положителен.

Квадратные матрицы такого типа возникают во множестве задач и это определяющее свойство приводит к сильным результатам об их строении.

Теорема Фробениуса-Перона является основным результатом для неотрицательных матриц. Пусть матрицы A>B, если Вспомним матрицу перестановки приводит к перестановке столбцов матрицы А. DF . При матрица называется приводимой матрицей, если существует такая матрица перестановки Р, что совподает с матрицей 11 , А 12 , А 22 – квадратные матрицы меньшего чем n порядка. Если матрица Р не существует, то матрица А называется неприводимой.

Понятие приводимости имеет значение при решении матричных уравнений , ибо если Ф – приводима, то осуществив замену переменных, которую подсказывают равенства и решаем матричное уравнение с матрицей более низкого порядка. Затем, и решаем матричное уравнение. Таким образом, если А – приводима, то решение уравнения высокого порядка сводится к решению уравнений более низкого порядка, при чем собственные значения матриц А 11 и А 22 в своей совокупности составляет множество значений матрицы А. Интересно, что явление приводимости не связано с величиной матрицы, а зависит лишь от расположения нулевых элементов в матрице. В связи с этим, используют идею направленного графа матрицы, которую можно взять в качестве характеризации неприводимости матрицы.

Наметим первые шаги тоерии и получим вторую характеризацию неприводимости матриц. DF . Пусть р 1 , р 2 , …, р n – n различных точек комплексной плоскости и составим направленную линию от р i к р j Получающаяся в результате фигура на комплексной плоскости называется направленным графом матрицы.

р 1

р 3

р 2

Например: DF . Говорят, что любой направленный граф связен, если для каждой пары точек существует направленный путь Легко доказать, что квадратная матрица неприводима тогда и только тогда, когда ее граф является связным. 8.Теорема Фробениуса-Перона.

Очевидно, что если . Более того, мы покажем, что для достаточно больших p Лемма № 1. Если матрица неотрицательна и неприводима, то Доказательство: Если взять произвольный вектор и имеет место, очевидно, что Z имеет по крайней мере столько же нулевых положительных элементов, что и y . В самом деле, если предположить, что Z имеет меньше нулевых компонент, то обозначим и разбив матрицу А на блоки следующим образом мы будем иметь Учитывая, что Для следующего вектора повторим рассуждения и т.д. В итоге получим, что для некоторого ненулевого вектора y ЧТД. Для ненулевой неприводимой матрицы А рассмотрим действительную функцию r(x) , определенную для ненулевых векторов следующим образом : Ax) i – iя координата вектора Ах. . Из определения следует, что и кроме того, r(x) – такое наименьшее значение Очевидно, что r(x) инвариантна относительна замены x на Однако, r(x) может иметь разрывы в точках, где координата x обращается в 0, поэтому рассмотрим множество векторов и обозначим N будет положительным, а поэтому Обозначим через наибольшее число, для которого – спектральный радиус матрицы А. Если Можно показать, что существует вектор y , что Замечание. Могут существовать и другие векторы в L для которых r(x) принимает значение r , поэтому любой такой вектор называется экстремальным для матрицы А (Az=rz) . Интерес к числу r объясняется следующим результатом. Лемма № 2. Если матрица неотрицательна и неприводима, то число является собственным значением матрицы А, кроме того каждый экстремальный вектор для А положителен и является правым собственным вектором для А, отвечающим собственному значению r . Основным результатом является теорема Фробениуса-Перона для непрерывных матриц.

Теорема Фробениуса-Перона. Если матрица неотрицательна и неприводима, то: 1. 2. r . 3. Эта теорема была опубликована в 1912 году Фробениусом и явилась обобщением теоремы Перона, которая является следствием.

оценка объектов жилой недвижимости в Липецке
оценка дачи в Белгороде
оценка стоимости зданий и сооружений в Москве