Преобразования фигур

Гомотетия Гомотетия – простейшее преобразование относительно центра O с коэффициентом гомотетии k . Это преобразование, которое переводит произвольную точку X ’ луча OX , такую, что OX ’ = k * OX . Свойство гомотетии: 1. Преобразованием гомотетии переводит любую плоскость, не проходящую через центр гомотетии, в параллельную плоскость (или в себя при k =1). Доказательство.

Действительно, пусть O – центр гомотетии и a - любая плоскость, не проходящая через точку O . Возьмем любую прямую AB в плоскости a . Преобразование гомотетии переводит точку A в точку A ’ на луче OA , а точку B в точку B ’ на луче OB , причем OA ’/ OA = k , OB ’/ OB = k , где k – коэффициент гомотетии.

Отсюда следует подобие треугольников AOB и A ’ OB ’. Из подобия треугольников следует равенство соответственных углов OAB и OA ’ B ’, а значит, параллельность прямых AB и A ’ B ’. Возьмем теперь другую прямую AC в плоскости a . Она при гомотетии перейдет а параллельную прямую A ’ C ’. При рассматриваемой гомотетии плоскость a перейдет в плоскость a ’, проходящую через прямые A ’ B ’, A ’ C ’. Так как A ’ B ’|| AB и A ’ C ’|| AC , то по теореме о двух пересекающихся прямых одной плоскости соответственно параллельными с пересекающимися прямыми другой плоскости, плоскости a и a ’ параллельны, что и требовалось доказать.

Движение Движением - преобразование одной фигуры в другую если оно сохраняет расстояние между точками, т.е. переводит любые две точки X и Y одной фигуры в точки X , Y другой фигуры так, что XY = X Y Свойства движения: 1. Точки, лежащие на прямой, при движении переходят в точки, лежащие на прямой, и сохраняется порядок их взаимного расположения. Это значит, что если A , B , C , лежащие на прямой, переходят в точки A 1 , B 1 , C 1 . То эти точки также лежат на прямой; если точка B лежит между точками A и C , то точка B 1 лежит между точками A 1 и C 1. Доказательство. Пусть точка B прямой AC лежит между точками A и C . Докажем, что точки A 1 , B 1 , C 1 лежат на одной прямой. Если точка A 1 , B 1 , C 1 не лежат на прямой, то они являются вершинами треугольника.

Поэтому A 1 C 1 1 B 1 + B 1 C 1 . По определению движения отсюда следует, что AC AB + BC . Однако по свойству измерения отрезков AC = AB + BC . Мы пришли к противоречию.

Значит, точка B 1 лежит на прямой A 1 C 1 . Первое утверждение теоремы доказано.

Покажем теперь, что точка B 1 лежит между A 1 и C 1 . Допустим, что точка A 1 лежит между точками B 1 и C 1 . Тогда A 1 B 1 + A 1 C 1 = B 1 C 1 , и, следовательно, AB + AC = BC . Но это противоречит неравенству AB + BC = AC . Таким образом, точка A 1 не может лежать между точками B 1 и C 1 . Аналогично доказываем, что точка C 1 не может лежать между точками A 1 и B 1 . Так как из трех точек A 1 , B 1 , C 1 одна лежит между двумя другими, то этой точкой может быть только B 1 . Теорема доказана полностью. 2. При движении прямые переходят в прямые, полупрямые – в полупрямые, отрезки – в отрезки 3. При движении сохраняются углы между полупрямыми.

Доказательство. Пусть AB и AC – две полупрямые, исходящие из точки A , не лежащие на оной прямой. При движении эти полупрямые переходят в некоторые полупрямые A 1 B 1 и A 1 C 1 . Так как движение сохраняет расстояние, то треугольники ABC и A 1 B 1 C 1 равны по третьему признаку равенства треугольников. Из равенства треугольников следует равенство углов BAC и B 1 A 1 C 1 , что и требовалось доказать. 4. Движение переводит плоскость в плоскость.

Докажем это свойство. Пусть a - произвольная плоскость.

Отметим на ней любые три точки A , B , C , не лежащие на одной прямой.

Проведем через них плоскость a '. Докажем, что при рассматриваемом движении плоскость a переходит в плоскость a '. Пусть X - произвольная точка плоскости a . проведем через нее какую-нибудь прямую a в плоскости a , пересекающую треугольник ABXC в двух точках Y и Z . Прямая а перейдет при движении в некоторую прямую a '. Точки Y и Z прямой a перейдут в точки Y ' и Z ', принадлежащие треугольнику A ' B ' C ', а значит, плоскости a '. Итак прямая a ' лежит в плоскости a '. Точка X при движении переходит в точку X ' прямой a ', а значит, и плоскости a ', что и требовалось доказать. В пространстве, так же как и на плоскости, две фигуры называются равными, если они совмещаются движением. III . Виды движения: симметрия относительно точки, симметрия относительно прямой, симметрия относительно плоскости, поворот, движение, параллельный перенос.

Симметрия относительно точки Пусть О - фиксированная точка и X - произвольная точка плоскости.

Отложим на продолжении отрезка OX за точку O отрезок OX ', равный OX . Точка X ' называется симметричной точке X относительно точки O . Точка, симметричная точке O , есть сама точка O . Очевидно, что точка, симметричная точке X ', есть точка X . Преобразование фигуры F в фигуру F ', при котором каждая ее точка X переходит в точку X ', симметричную относительно данной точке O , называется преобразованием симметрии относительно точки O . При этом фигуры F и F ' называются симметричными относительно точки O . Если преобразование симметрии относительно точки O переводит фигуру F в себя, то она называется центрально-симметричной, а точка O называется центром симметрии.

Например, параллелограмм является центрально-симметричной фигурой. Его центром симметрии является точка пересечения диагоналей.

Теорема: Преобразование симметрии относительно точки является движением.

Доказательство. Пусть X и Y - две произвольные точки фигуры F . Преобразование симметрии относительно точки O переводит их в точки X ' и Y '. Рассмотрим треугольники XOY и X ' OY '. Эти треугольники равны по первому признаку равенства треугольника. У них углы при вершине O равны как вертикальные, а OX = OX ', OY = OY ' по определению симметрии относительно точки O . Из равенства треугольников следует равенство сторон: XY = X ' Y '. А значит, что симметрия относительно точки O есть движение.

Теорема доказана.

Симметрия относительно прямой Пусть g - фиксированная прямая.

Возьмем произвольную точку X и опустим перпендикуляр AX н прямую g . На продолжении перпендикуляра за точку A отложим отрезок AX ', равный отрезку AX . Точка X ' называется симметричной точке X относительно прямой g . Если точка X лежит на прямой g , то симметричная ей точка есть сама точка X . Очевидно, что точка, симметричная точке X ', есть точка X . Преобразование фигуры F в фигуру F ', при котором каждая ее точка X переходит в точку X ', симметричную относительно данной прямой g , называется преобразованием симметрии относительно прямой g . При этом фигуры F и F ' называются симметричными относительно прямой g . Если преобразование симметрии относительно прямой g переводит фигуру F в себя, то эта фигура называется симметричной относительно прямой g , а прямая g называется осью симметрии фигуры.

Например, прямые, проходящие через точку пересечения диагоналей прямоугольника параллельно его сторонам, является осями симметрии прямоугольника.

Прямые на которых лежат диагонали ромба, является его осями симметрии.

Теорема: Преобразование симметрии относительно прямой является движением. Доказательство.

Примем данную прямую за ось у декартовой системы координат. Пусть произвольная точка A ( x ; y ) фигуры F переходит в точку A ' ( x '; y ') фигуры F '. Из определения симметрии относительно прямой следует, что у точек A и A ' равные ординаты, а абсциссы отличаются только знаком: x ' = - x . Возьмем две произвольные точки A ( x ; y ) и B ( x ; y ). Они перейдут в точки A ' (- x ; y ) и B ' (- x ; y ). Имеем: AB 2 =(x 2 -x 1 ) 2 +(y 2 -y 1 ) 2 A'B' 2 =(-x 2 + x 1 ) 2 +(y 2 -y 1 ) 2 Отсюда видно, что AB = A ' B '. А значит, что преобразование симметрии относительно прямой есть движение.

Теорема доказана.

Симметрия относительно плоскости Пусть a - произвольная фиксированная плоскость. Из точки X фигуры опускаем перпендикуляр XA на плоскость a и на его продолжении за точку A откладываем отрезок AX ', равный XA . Точка X ' называется симметричной точке X относительно плоскости a , а преобразование, которое переводит X в симметричную ей точку X ', называется преобразованием симметрии относительно плоскости a . Если точка X лежит в плоскости a , то считается, что точка X переходит в себя. Если преобразование симметрии относительно плоскости a переводит фигуру в себя, то фигура называется симметричной относительно плоскости a , а плоскость a называется плоскостью симметрии этой фигуры.

Поворот Поворот плоскости около данной точки называется такое движение, при котором каждый луч, исходящий из точки, поворачивается на один и тот же угол в одном и том же направлении. Это значит, что если при поворот около точки O точка переходит в точку X ', то лучи OX и OX ' образуют один и тот же угол, какова бы ни была точка X . Этот угол называется углом поворота.

Преобразование фигур при повороте плоскости также называется поворотом.